Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 36 \\ 8x^2 + 4y^2 = 36x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение.
Заметим, что в левой части второго уравнения все коэффициенты кратны 4. Вынесем 4 за скобки:
$4(2x^2 + y^2) = 36x$

Шаг 2. Используем метод подстановки.
Из первого уравнения системы нам известно, что выражение $2x^2 + y^2$ равно 36. Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$4 \cdot 36 = 36x$

Шаг 3. Находим значение $x$.
Разделим обе части полученного уравнения на 36:
$4 = x$, то есть $x = 4$.

Шаг 4. Находим значение $y$.
Подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение системы:
$2 \cdot 4^2 + y^2 = 36$
$2 \cdot 16 + y^2 = 36$
$32 + y^2 = 36$
$y^2 = 36 - 32$
$y^2 = 4$

Уравнение $y^2 = 4$ имеет два корня:
$y_1 = 2$
$y_2 = -2$

Шаг 5. Записываем пары решений.
При $x = 4$ мы получили два возможных значения $y$. Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(4; 2)$ и $(4; -2)$.

Ответ: (4; 2), (4; -2)

Источник: ФИПИ