Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x^2 - 2x = y \\ 3x - 2 = y \end{cases}$

Шаг 1. Приравнивание выражений.
Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Следовательно, мы можем приравнять эти выражения друг к другу:
$3x^2 - 2x = 3x - 2$

Шаг 2. Решение полученного квадратного уравнения.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе не забываем менять знаки:
$3x^2 - 2x - 3x + 2 = 0$
$3x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.

Найдём значения $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Шаг 3. Нахождение соответствующих значений $y$.
Для каждого найденного $x$ вычислим $y$, подставив значение во второе (более простое) уравнение системы $y = 3x - 2$:

1) Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$

2) Если $x_2 = \frac{2}{3}$, то:
$y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$

Шаг 4. Запись ответа.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(1; 1)$ и $(\frac{2}{3}; 0)$.

Ответ: (1; 1), (2/3; 0)

Источник: ФИПИ