Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения данного неравенства проанализируем структуру дроби $\frac{-14}{(x - 5)^2 - 2} \geq 0$.

1. Заметим, что в числителе дроби стоит отрицательное число $-14$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель этой дроби должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно условию:
$(x - 5)^2 - 2 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Для этого разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим число $2$ как $(\sqrt{2})^2$:
$(x - 5)^2 - (\sqrt{2})^2 < 0$
$(x - 5 - \sqrt{2})(x - 5 + \sqrt{2}) < 0$

4. Найдём корни уравнения $(x - 5 - \sqrt{2})(x - 5 + \sqrt{2}) = 0$:
$x_1 = 5 + \sqrt{2}$
$x_2 = 5 - \sqrt{2}$

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), точки будут выколотыми.
Графиком функции $f(x) = (x - 5)^2 - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

6. Таким образом, решением неравенства является интервал:
$5 - \sqrt{2} < x < 5 + \sqrt{2}$

Запишем это в виде промежутка: $(5 - \sqrt{2}; 5 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(5 - \sqrt{2}; 5 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ