Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 5x^2 + y^2 = 61 \\ 15x^2 + 3y^2 = 61x \end{cases}$

1. Заметим, что в левой части второго уравнения можно вынести общий множитель $3$ за скобки:
$3(5x^2 + y^2) = 61x$

2. Из первого уравнения системы нам известно, что выражение $5x^2 + y^2$ равно $61$. Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$3 \cdot 61 = 61x$

3. Разделим обе части полученного уравнения на $61$:
$3 = x$, то есть $x = 3$.

4. Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$5 \cdot 3^2 + y^2 = 61$
$5 \cdot 9 + y^2 = 61$
$45 + y^2 = 61$

5. Перенесём число $45$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$y^2 = 61 - 45$
$y^2 = 16$

6. Решим уравнение $y^2 = 16$. Оно имеет два корня:
$y_1 = 4$
$y_2 = -4$

7. Таким образом, мы получили две пары решений $(x; y)$: $(3; 4)$ и $(3; -4)$.

Ответ: (3; 4), (3; -4)

Источник: ФИПИ