Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12 = 0$

Сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым и третье с четвёртым:

$(x^{3} + 3x^{2}) + (-4x - 12) = 0$

Теперь вынесем общие множители за скобки в каждой паре. В первой паре вынесем $x^{2}$, а во второй — число $-4$:

$x^{2}(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

Мы видим, что в обоих слагаемых появился общий множитель $(x + 3)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 3)(x^{2} - 4) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:

1) $x + 3 = 0$
Отсюда $x_{1} = -3$

2) $x^{2} - 4 = 0$
Это уравнение можно решить, перенеся четвёрку в правую часть: $x^{2} = 4$.
Следовательно, $x = 2$ или $x = -2$.
(Также это выражение можно было разложить по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) = 0$).

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-3$, $-2$ и $2$.

Ответ: -3; -2; 2

Источник: ФИПИ