Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Данное уравнение содержит квадратный корень, поэтому первым делом необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6 - x \geq 0$
$-x \geq -6$
$x \leq 6$

Теперь перейдём к решению самого уравнения. Заметим, что в обеих частях уравнения стоит одинаковое слагаемое $\sqrt{6 - x}$. Если мы перенесём все слагаемые в левую часть, они взаимно уничтожатся:

$x^{2} - 3x + \sqrt{6 - x} - \sqrt{6 - x} - 40 = 0$
$x^{2} - 3x - 40 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:

$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_{2} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь обязательно проверим, подходят ли найденные корни под условие ОДЗ ($x \leq 6$):

1) Для $x_{1} = 8$: условие $8 \leq 6$ не выполняется. Значит, число $8$ является посторонним корнем.
2) Для $x_{2} = -5$: условие $-5 \leq 6$ выполняется. Это число является решением уравнения.

Ответ: -5

Источник: ФИПИ