Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x^2 + y = 4 \\ 2x^2 - y = 1 \end{cases}$

Шаг 1. Выбор метода решения.
Заметим, что в первом уравнении переменная $y$ входит с коэффициентом $1$, а во втором — с коэффициентом $-1$. В таком случае удобнее всего воспользоваться методом сложения. При сложении уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

Шаг 2. Сложение уравнений.
Сложим левые и правые части уравнений системы:
$(3x^2 + y) + (2x^2 - y) = 4 + 1$
$3x^2 + 2x^2 + y - y = 5$
$5x^2 = 5$

Шаг 3. Нахождение переменной $x$.
Разделим обе части уравнения на $5$:
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$

Шаг 4. Нахождение переменной $y$.
Для каждого найденного значения $x$ вычислим соответствующее значение $y$. Для этого подставим $x^2 = 1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2x^2 - y = 1$
$2 \cdot 1 - y = 1$
$2 - y = 1$
$-y = 1 - 2$
$-y = -1$
$y = 1$

Так как в обоих случаях ($x = 1$ и $x = -1$) значение $x^2$ равно $1$, то значение $y$ для обоих корней будет одинаковым.

Шаг 5. Запись пар решений.
Мы получили две пары чисел $(x; y)$:
1) При $x = 1$, $y = 1$.
2) При $x = -1$, $y = 1$.

Ответ: (1; 1), (-1; 1)

Источник: ФИПИ