Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений: $\begin{cases} 6x^2 + y = 14 \\ 12x^2 - y = 4 \end{cases}$

Шаг 1. Выбор метода решения.
Заметим, что в первом уравнении переменная $y$ входит с коэффициентом $1$, а во втором — с коэффициентом $-1$. Это удобно для использования метода сложения. При сложении левых и правых частей уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

Шаг 2. Сложение уравнений.
Сложим уравнения системы:
$(6x^2 + y) + (12x^2 - y) = 14 + 4$
$6x^2 + 12x^2 + y - y = 18$
$18x^2 = 18$

Шаг 3. Нахождение переменной $x$.
Разделим обе части уравнения на $18$:
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$

Шаг 4. Нахождение переменной $y$.
Подставим найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмём первое уравнение: $6x^2 + y = 14$.
Выразим из него $y$:
$y = 14 - 6x^2$

1) Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 14 - 6 \cdot 1^2 = 14 - 6 = 8$
Получаем первую пару решений: $(1; 8)$.

2) Если $x_2 = -1$, то:
$y_2 = 14 - 6 \cdot (-1)^2 = 14 - 6 = 8$
Получаем вторую пару решений: $(-1; 8)$.

Ответ: $(1; 8); (-1; 8)$

Источник: ФИПИ