Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (x - 6)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Перепишем уравнение в следующем виде:
$(x^{2})^{2} = (x - 6)^{2}$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить разность квадратов:
$(x^{2})^{2} - (x - 6)^{2} = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$, где $a = x^{2}$, а $b = x - 6$:
$(x^{2} - (x - 6))(x^{2} + (x - 6)) = 0$
$(x^{2} - x + 6)(x^{2} + x - 6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x^{2} - x + 6 = 0$
Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), данное уравнение не имеет действительных корней.

2) $x^{2} + x - 6 = 0$
Найдём дискриминант:
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня. Вычислим их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $-3$ и $2$.

Ответ: -3; 2

Источник: ФИПИ