Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x^2 + y = 9 \\ 7x^2 - y = 1 \end{cases}$

Шаг 1. Выбор метода решения.
Заметим, что в первом уравнении переменная $y$ входит с коэффициентом $1$, а во втором — с коэффициентом $-1$. В таком случае удобнее всего воспользоваться методом сложения. При сложении уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится, и мы получим уравнение только с одной переменной $x$.

Шаг 2. Сложение уравнений.
Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x^2 + y) + (7x^2 - y) = 9 + 1$
$3x^2 + 7x^2 + y - y = 10$
$10x^2 = 10$

Шаг 3. Нахождение переменной $x$.
Разделим обе части уравнения на $10$:
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$

Шаг 4. Нахождение переменной $y$.
Для того чтобы найти $y$, подставим найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмём первое уравнение: $3x^2 + y = 9$.
Выразим из него $y$:
$y = 9 - 3x^2$

1) Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 9 - 3 \cdot 1^2 = 9 - 3 = 6$.
Получаем первую пару решений: $(1; 6)$.

2) Если $x_2 = -1$, то:
$y_2 = 9 - 3 \cdot (-1)^2 = 9 - 3 \cdot 1 = 6$.
Получаем вторую пару решений: $(-1; 6)$.

Шаг 5. Проверка.
Подставим любую пару (например, $(-1; 6)$) во второе уравнение: $7 \cdot (-1)^2 - 6 = 7 \cdot 1 - 6 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: (1; 6), (-1; 6)

Источник: ФИПИ