Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (3x - 4)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Тогда уравнение примет вид:
$(x^{2})^{2} = (3x - 4)^{2}$

Вспомним свойство: если квадраты двух выражений равны ($a^{2} = b^{2}$), то либо сами выражения равны, либо они противоположны по знаку ($a = b$ или $a = -b$). Применим это правило к нашему уравнению:

Случай 1: $x^{2} = 3x - 4$
Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^{2} - 3x + 4 = 0$
Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$
Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $x^{2} = -(3x - 4)$
Раскроем скобки, поменяв знаки:
$x^{2} = -3x + 4$
Перенесём всё в левую часть:
$x^{2} + 3x - 4 = 0$
Найдём дискриминант:
$D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня. Вычислим их:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_{2} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $1$ и $-4$.

Ответ: -4; 1

Источник: ФИПИ