Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 21 \\ 6x^2 + 9y^2 = 21x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразуем левую часть второго уравнения.
Заметим, что в левой части второго уравнения $6x^2 + 9y^2$ можно вынести общий множитель $3$ за скобки:
$3(2x^2 + 3y^2) = 21x$

Шаг 2. Используем метод подстановки.
Из первого уравнения системы нам известно, что выражение $2x^2 + 3y^2$ равно $21$. Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$3 \cdot 21 = 21x$

Шаг 3. Находим значение $x$.
Разделим обе части полученного уравнения на $21$:
$3 = x$, то есть $x = 3$.

Шаг 4. Находим значения $y$.
Подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы:
$2 \cdot 3^2 + 3y^2 = 21$
$2 \cdot 9 + 3y^2 = 21$
$18 + 3y^2 = 21$
$3y^2 = 21 - 18$
$3y^2 = 3$
$y^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 1$
$y_2 = -1$

Шаг 5. Записываем ответ в виде пар чисел $(x; y)$.
При $x = 3$ мы получили два значения $y$. Значит, решениями системы являются пары $(3; 1)$ и $(3; -1)$.

Ответ: (3; 1), (3; -1)

Источник: ФИПИ