Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (3x - 10)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Перепишем уравнение в следующем виде:
$(x^{2})^{2} = (3x - 10)^{2}$

Если квадраты двух выражений равны, то сами выражения либо равны между собой, либо противоположны по знаку. Это следует из правила: если $a^{2} = b^{2}$, то $a = b$ или $a = -b$.
Применим это правило к нашему уравнению. Получим два случая:

Случай 1: $x^{2} = 3x - 10$
Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^{2} - 3x + 10 = 0$
Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$
Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $x^{2} = -(3x - 10)$
Раскроем скобки в правой части:
$x^{2} = -3x + 10$
Перенесём всё в левую часть:
$x^{2} + 3x - 10 = 0$
Найдём дискриминант:
$D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня. Вычислим их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$
$x_{1} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{2} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $-5$ и $2$.

Ответ: -5; 2

Источник: ФИПИ