Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения уравнения $x^{3} + 2x^{2} - 9x - 18 = 0$ воспользуемся методом группировки слагаемых. Это позволит нам разложить левую часть уравнения на множители.

1. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвёртым:
$(x^{3} + 2x^{2}) + (-9x - 18) = 0$

2. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
Из первой группы вынесем $x^{2}$, а из второй — число $-9$:
$x^{2}(x + 2) - 9(x + 2) = 0$

3. Теперь мы видим общий множитель $(x + 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 2)(x^{2} - 9) = 0$

4. Заметим, что во второй скобке находится разность квадратов: $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

5. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
2) $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
3) $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -3; -2; 3

Источник: ФИПИ