Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым и третье с четвёртым.

$(x^{3} + 4x^{2}) + (-4x - 16) = 0$

Шаг 1. Вынесение общих множителей за скобки.
В первой паре слагаемых общим множителем является $x^{2}$, а во второй паре — число $-4$. Вынесем их:
$x^{2}(x + 4) - 4(x + 4) = 0$

Шаг 2. Вынесение общей скобки.
Теперь мы видим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4)(x^{2} - 4) = 0$

Шаг 3. Применение формулы разности квадратов.
Выражение во второй скобке $x^{2} - 4$ можно разложить по формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$, так как $4 = 2^{2}$:
$(x + 4)(x - 2)(x + 2) = 0$

Шаг 4. Нахождение корней.
Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x + 4 = 0 \Rightarrow x_{1} = -4$
2) $x - 2 = 0 \Rightarrow x_{2} = 2$
3) $x + 2 = 0 \Rightarrow x_{3} = -2$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -4; -2; 2

Источник: ФИПИ