Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Рассмотрим данную систему уравнений:
$\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 25 \\ 3 x^{2} + 12 y^{2} = 25 x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразование второго уравнения.
Заметим, что в левой части второго уравнения можно вынести общий множитель $3$ за скобки:
$3(x^{2} + 4 y^{2}) = 25 x$

Шаг 2. Метод подстановки.
Из первого уравнения системы нам известно, что выражение $x^{2} + 4 y^{2}$ равно $25$. Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$3 \cdot 25 = 25 x$

Шаг 3. Нахождение значения $x$.
Разделим обе части полученного уравнения на $25$:
$3 = x$
Следовательно, $x = 3$.

Шаг 4. Нахождение значений $y$.
Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$3^{2} + 4 y^{2} = 25$
$9 + 4 y^{2} = 25$
Перенесем $9$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$4 y^{2} = 25 - 9$
$4 y^{2} = 16$
Разделим на $4$:
$y^{2} = 4$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_{1} = 2$ или $y_{2} = -2$

Шаг 5. Запись пар решений.
Таким образом, система имеет две пары решений: $(3; 2)$ и $(3; -2)$.

Ответ: (3; 2), (3; -2)

Источник: ФИПИ