Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x + 1)$. Для его решения удобно воспользоваться методом введения новой переменной.

1. Пусть $(x + 1)^2 = t$.
Заметим, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому наложим условие: $t \geq 0$.

2. Перепишем исходное уравнение, используя замену. Так как $(x + 1)^4 = ((x + 1)^2)^2 = t^2$, уравнение примет вид:
$t^2 + t - 6 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Найдём корни $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$t_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

4. Проверим корни $t$ на соответствие условию $t \geq 0$:
Значение $t_2 = -3$ не подходит, так как квадрат числа не может быть равен отрицательному числу.
Значение $t_1 = 2$ подходит.

5. Вернёмся к обратной замене для $t = 2$:
$(x + 1)^2 = 2$
Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Помним, что уравнение вида $a^2 = b$ имеет два корня: $a = \sqrt{b}$ и $a = -\sqrt{b}$.
$x + 1 = \sqrt{2}$ или $x + 1 = -\sqrt{2}$

6. Выразим $x$ в каждом случае:
$x_1 = -1 + \sqrt{2}$
$x_2 = -1 - \sqrt{2}$

Ответ: $-1 - \sqrt{2}; -1 + \sqrt{2}$

Источник: ФИПИ