Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение удобно решить методом введения новой переменной. Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x - 1$, стоящее в знаменателе.

1. Введём замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{x - 1}$.
Тогда выражение $\frac{1}{(x - 1)^2}$ можно записать как $t^2$.
Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

2. Перепишем исходное уравнение с учётом замены:
$t^2 + 3t - 10 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант ($D$):
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$;
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

4. Вернёмся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая:

Случай 1: $t = 2$
$\frac{1}{x - 1} = 2$
Воспользуемся свойством пропорции: $2(x - 1) = 1$
$2x - 2 = 1$
$2x = 3$
$x = 1,5$

Случай 2: $t = -5$
$\frac{1}{x - 1} = -5$
$-5(x - 1) = 1$
$-5x + 5 = 1$
$-5x = 1 - 5$
$-5x = -4$
$x = \frac{-4}{-5}$
$x = 0,8$

5. Оба найденных значения удовлетворяют условию $x \neq 1$.

Ответ: 0,8; 1,5

Источник: ФИПИ