Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (x - 12)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Перепишем уравнение:

$(x^{2})^{2} = (x - 12)^{2}$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:

$(x^{2})^{2} - (x - 12)^{2} = 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x^{2} - (x - 12))(x^{2} + (x - 12)) = 0$

Раскроем внутренние скобки:

$(x^{2} - x + 12)(x^{2} + x - 12) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x^{2} - x + 12 = 0$
Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$.
Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

2) $x^{2} + x - 12 = 0$
Найдём корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета:
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Вычислим корни:
$x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $-4$ и $3$.

Ответ: -4; 3

Источник: ФИПИ