Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался нуль:

$x^{3} + 3x^{2} - 16x - 48 = 0$

Сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым и третье с четвёртым:

$(x^{3} + 3x^{2}) + (-16x - 48) = 0$

Теперь вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой скобки можно вынести $x^{2}$, а из второй — число $-16$:

$x^{2}(x + 3) - 16(x + 3) = 0$

Мы видим, что в обоих слагаемых появился общий множитель $(x + 3)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 3)(x^{2} - 16) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 3 = 0$
Отсюда $x_{1} = -3$

2) $x^{2} - 16 = 0$
Это уравнение можно решить, перенеся 16 в правую часть: $x^{2} = 16$.
Корнями этого уравнения являются числа, квадрат которых равен 16:
$x_{2} = 4$
$x_{3} = -4$

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-4$, $-3$ и $4$.

Ответ: -4; -3; 4.

Источник: ФИПИ