Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + y = 9 \\ 3x^2 - y = 11 \end{cases}$

Для решения данной системы удобнее всего воспользоваться методом сложения, так как переменная $y$ в первом уравнении имеет коэффициент $1$, а во втором — коэффициент $-1$. При сложении уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

Шаг 1. Сложим левые и правые части уравнений:
$(2x^2 + y) + (3x^2 - y) = 9 + 11$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 3x^2 + y - y = 20$
$5x^2 = 20$

Шаг 2. Решим полученное уравнение относительно $x$:
Разделим обе части уравнения на $5$:
$x^2 = 20 : 5$
$x^2 = 4$
Отсюда находим два возможных значения для $x$:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$

Шаг 3. Найдем соответствующие значения $y$:
Для этого подставим найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение: $2x^2 + y = 9$.
Выразим из него $y$:
$y = 9 - 2x^2$

1) Если $x_1 = 2$, то:
$y_1 = 9 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$

2) Если $x_2 = -2$, то:
$y_2 = 9 - 2 \cdot (-2)^2 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$

Таким образом, мы получили две пары решений: $(2; 1)$ и $(-2; 1)$.

Ответ: (2; 1), (-2; 1)

Источник: ФИПИ