Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом разложения на множители. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался нуль:

$x^{3} + 4x^{2} - 4x - 16 = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым и третье с четвёртым:

$(x^{3} + 4x^{2}) + (-4x - 16) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой скобки можно вынести $x^{2}$, а из второй — число $-4$:

$x^{2}(x + 4) - 4(x + 4) = 0$

Мы видим, что в обоих слагаемых появился общий множитель $(x + 4)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 4)(x^{2} - 4) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 4 = 0$
Отсюда $x = -4$.

2) $x^{2} - 4 = 0$
Это уравнение можно решить, перенеся четвёрку в правую часть: $x^{2} = 4$.
Следовательно, $x = 2$ или $x = -2$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-4$, $-2$ и $2$.

Ответ: -4; -2; 2

Источник: ФИПИ