Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 5x^2 + y = 12 \\ 9x^2 - y = 2 \end{cases}$

Шаг 1. Выбор метода решения.
Заметим, что в первом уравнении переменная $y$ входит с коэффициентом $1$, а во втором — с коэффициентом $-1$. В таком случае удобнее всего воспользоваться методом сложения. При сложении уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

Шаг 2. Сложение уравнений.
Сложим левые и правые части уравнений:
$(5x^2 + y) + (9x^2 - y) = 12 + 2$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$5x^2 + 9x^2 + y - y = 14$
$14x^2 = 14$

Шаг 3. Нахождение переменной $x$.
Разделим обе части уравнения на $14$:
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 1$ или $x_2 = -1$

Шаг 4. Нахождение переменной $y$.
Подставим найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмём первое уравнение: $5x^2 + y = 12$. Выразим из него $y$:
$y = 12 - 5x^2$

1) Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 12 - 5 \cdot 1^2 = 12 - 5 = 7$
Получаем первую пару решений: $(1; 7)$.

2) Если $x_2 = -1$, то:
$y_2 = 12 - 5 \cdot (-1)^2 = 12 - 5 \cdot 1 = 7$
Получаем вторую пару решений: $(-1; 7)$.

Шаг 5. Запись ответа.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$.

Ответ: (1; 7), (-1; 7)

Источник: ФИПИ