Разбор задачи:
Рассмотрим геометрическую ситуацию в треугольнике $ABC$.
Нам дано, что отрезок $AL$ является биссектрисой угла $A$. Также известны величины углов: $\angle ALC = 78^{\circ}$ и $\angle ABC = 52^{\circ}$.
Сначала проанализируем треугольник $ABL$:
1) Угол $\angle ALB$ является смежным с углом $\angle ALC$. Следовательно, его величина равна: $\angle ALB = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}$.
2) Зная два угла в треугольнике $ABL$ ($\angle B = 52^{\circ}$ и $\angle ALB = 102^{\circ}$), вычислим третий угол: $\angle BAL = 180^{\circ} - (102^{\circ} + 52^{\circ}) = 26^{\circ}$.
Перейдем к основному треугольнику $ABC$:
Поскольку $AL$ делит угол $A$ пополам, весь угол $A$ в два раза больше найденного угла $\angle BAL$: $\angle A = 2 \cdot 26^{\circ} = 52^{\circ}$.
Теперь нам известны два угла треугольника $ABC$: $\angle A = 52^{\circ}$ и $\angle B = 52^{\circ}$.
Сумма углов треугольника всегда составляет $180^{\circ}$, поэтому искомый угол $C$ равен:
$\angle C = 180^{\circ} - 52^{\circ} - 52^{\circ} = 76^{\circ}$.

Ответ: 76

Источник: ФИПИ