Решение:
Пусть $a$ — количество пальчиковых батареек, $b$ — количество мизинчиковых, а $c$ — количество маленьких круглых батареек. Исходя из условий задачи, правила обмена можно представить в виде следующих равенств:
1) $2a = 3b + c$
2) $7b = 3a + c$
В самом начале у Васи есть только мизинчиковые батарейки ($b > 0$), а пальчиковых и круглых нет ($a = 0, c = 0$). Следовательно, первым шагом он может совершить только обмен по второму правилу, отдав 7 мизинчиковых батареек. В итоге у него окажется:
$3a + c$
Затем, имея в наличии 3 пальчиковые батарейки, он может использовать 2 из них для обмена по первому правилу. Тогда вместо этих двух батареек он получит 3 мизинчиковые и 1 круглую. С учетом остатка от предыдущего шага (1 пальчиковая и 1 круглая батарейка), общий набор станет таким:
$3b + c + (a + c) = 3b + a + 2c$
Чтобы снова иметь возможность совершить обмен по второму правилу, Васе нужно набрать 7 мизинчиковых батареек. Для этого он добавляет к имеющимся еще 4 штуки из своего запаса. После очередного обмена 7 мизинчиковых на пальчиковые и круглые, его набор примет вид:
$3a + c + a + 2c = 4a + 3c$
На заключительном этапе Вася может обменять все накопленные 4 пальчиковые батарейки, применив первое правило дважды ($4a = 6b + 2c$). Прибавив к результату уже имеющиеся круглые батарейки, получаем:
$6b + 2c + 3c = 6b + 5c$
Таким образом, проведя цикл этих преобразований, Вася полностью избавился от пальчиковых батареек, но накопил 5 маленьких круглых. Посмотрим, как изменилось количество мизинчиковых батареек: в процессе обменов он задействовал $7 + 4 = 11$ штук, а в итоге получил обратно 6 штук. Значит, их общее количество уменьшилось на $11 - 6 = 5$ штук.
Для того чтобы собрать 20 маленьких круглых батареек, Васе потребуется повторить описанный цикл 4 раза, так как $20 = 5 \cdot 4$. При этом общее количество мизинчиковых батареек уменьшится на $5 \cdot 4 = 20$ штук.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ