Задание №8 — Комбинаторика

Решение:

Восьмеричные цифры без единицы — это $0,2,3,4,5,6,7$: четыре чётные $(0,2,4,6)$ и три нечётные $(3,5,7)$. Условие «никакие две чётные и никакие две нечётные цифры не стоят рядом» означает, что чётность цифр строго чередуется, поэтому подходят лишь два шаблона: ЧНЧНЧ и НЧНЧН (Ч — чётная цифра, Н — нечётная). Дополнительно все цифры различны, а первая цифра не может быть нулём.

Шаблон НЧНЧН: нечётных цифр ровно три, и все они идут в дело — $3!=6$ способов; на два чётных места ставим упорядоченную пару из четырёх чётных цифр — $4\cdot3=12$ способов; ноль на первое место здесь попасть не может. Итого $6\cdot12=72$ числа.

Шаблон ЧНЧНЧ: упорядоченных троек чётных цифр $4\cdot3\cdot2=24$, из них начинаются с нуля $3\cdot2=6$, остаётся 18; нечётные цифры дают $3\cdot2=6$ способов. Итого $18\cdot6=108$ чисел. Всего $72+108=180$.

from itertools import permutations

digits = [0, 2, 3, 4, 5, 6, 7]        # восьмеричные цифры без единицы
count = 0
for p in permutations(digits, 5):     # все цифры различны
    if p[0] == 0:
        continue
    if all(p[i] % 2 != p[i + 1] % 2 for i in range(4)):
        count += 1
print(count)   # 180

Ответ: 180