Вариант 6 · Август 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $16^{\sin x} + 16^{\sin \left(x + \pi\right)} = \frac{17}{4}$.
Используя формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$, перепишем выражение:
$16^{\sin x} + 16^{- \sin x} = \frac{17}{4}$
$16^{\sin x} + \frac{1}{16^{\sin x}} = \frac{17}{4}$.
Введем новую переменную $t = 16^{\sin x}$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю и перенесем всё в левую часть:
$\frac{4t^2 - 17t + 4}{4t} = 0$.
Так как $t \neq 0$, приравняем числитель к нулю:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{17 + 15}{8} = 4$;
$t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Выполним обратную подстановку:
1) $16^{\sin x} = 4 \Rightarrow (4^2)^{\sin x} = 4^1 \Rightarrow 2\sin x = 1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
Отсюда получаем две серии решений:
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $16^{\sin x} = \frac{1}{4} \Rightarrow (4^2)^{\sin x} = 4^{-1} \Rightarrow 2\sin x = -1 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$.
Отсюда получаем еще две серии решений:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$.


Промежутку соответствуют следующие значения:
$x_1 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$;
$x_2 = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$;
$x_3 = 2\pi + \frac{5\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6}$.

Источник: ФИПИ

Решение:


а) По условию в основании лежит параллелограмм $ABCD$, где угол $\angle A = 60^{\circ}$. Сечение $AMKN$ представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями $AN = 2$ и $MK = 1$. Объем данной призмы равен $5$.
1) Поскольку $AMKN$ — равнобедренная трапеция, её основания параллельны, то есть $AN \parallel MK$. Так как $AN$ лежит в плоскости нижнего основания, то и $MK \parallel (ABCD)$. Спроектируем отрезок $MK$ на плоскость $ABCD$, получим $M_1 K_1 = MK = 1$.
2) Рассмотрим треугольники $M_1 BK_1$ и $ABN$. У них угол $\angle B$ общий, а $\angle KM_1 B = \angle NAB$ как соответственные при параллельных прямых. Следовательно, $\triangle M_1 BK_1 \sim \triangle ABN$ по двум углам.
Из подобия имеем: $\frac{M_1 B}{AB} = \frac{M_1 K_1}{AN} = \frac{1}{2}$. Отсюда следует, что $M_1 B = \frac{1}{2} AB$, то есть $M_1$ является серединой ребра $AB$. Соответственно, точка $M$ — середина ребра $A_1 B_1$, что и требовалось доказать.
б) 3) Воспользуемся равенством боковых сторон трапеции $AM = KN$.
Применяя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $AA_1 M$ и $KK_1 N$:
$AM^2 = AA_1^2 + A_1 M^2$
$KN^2 = KK_1^2 + K_1 N^2$
Учитывая, что высоты $AA_1$ и $KK_1$ равны, получаем равенство проекций: $A_1 M = K_1 N$.
4) Согласно условию деления ребра, $B_1 K : KC_1 = 2 : 3$.
Тогда $B_1 K = BK_1 = K_1 N$.
Обозначим $BK_1 = 2x$, тогда $K_1 C = 3x$, а вся сторона $BC = 5x$.
Так как $BK_1 = K_1 N = 2x$, то отрезок $NC = BC - BK_1 - K_1 N = 5x - 2x - 2x = x$.
5) Проанализируем геометрию треугольника $ABN$:

Поскольку $\triangle ABN$ равнобедренный ($AB=BN$), высота $BH$ также является медианой, значит $HN = AH = 1$.
В треугольнике $BHN$: $BN = \frac{HN}{\cos 30^{\circ}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Так как $BN = BK_1 + K_1 N = 4x$, находим $x$: $4x = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$.
Тогда стороны параллелограмма: $BC = 5x = \frac{5}{2 \sqrt{3}}$ и $AB = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Вычислим площадь основания: $S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2 \sqrt{3}}$.
Используя формулу объема $V = S_{осн} \cdot h$:
$5 = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \cdot h \Rightarrow h = 2 \sqrt{3}$.

Ответ: б) $2 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Дано неравенство: $\frac{0{,}125^{x} - 64}{16^{x} - 4^{x + 1} + 4} \leq 0$.
Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
$16^{x} - 4^{x + 1} + 4 \neq 0$
Преобразуем выражение, используя свойства степени $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x$:
$(4^x)^2 - 4 \cdot 4^{x} + 4 \neq 0$
Заметим формулу квадрата разности $(a-b)^2$:
$\left(4^{x} - 2\right)^{2} \neq 0$
Следовательно, $4^{x} \neq 2$. Представим обе части как степени двойки:
$2^{2x} \neq 2^{1}$
Отсюда получаем ограничение по переменной: $2x \neq 1$, то есть $x \neq 0{,}5$.

Теперь проанализируем знак дроби. Поскольку знаменатель $\left(4^{x} - 2\right)^{2}$ всегда положителен при $x \neq 0{,}5$, исходное неравенство равносильно условию, что числитель меньше или равен нулю:
$0{,}125^{x} - 64 \leq 0$
Перейдем к основанию $2$, учитывая, что $0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$ и $64 = 2^6$:
$(2^{-3})^x \leq 2^6$
$2^{-3x} \leq 2^6$
Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-3x \leq 6$
Разделим на $-3$, меняя знак неравенства:
$x \geq -2$.

Объединим полученное условие с найденным ранее ограничением для знаменателя:

Ответ: $[-2; 0{,}5) \cup (0{,}5; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $S$ первоначальный размер вклада. Процентная ставка составляет $r = 20\%$, следовательно, ежегодный коэффициент роста вклада равен $k = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$.
По условию, вкладчик трижды снимал одну и ту же сумму $x$. Общая сумма изъятых средств составила $518400$ рублей, откуда находим величину одного снятия: $x = \frac{518400}{3} = 172800$ рублей.

Построим математическую модель:
К концу четвертого года (после третьего снятия) на счету не осталось средств. Это позволяет записать уравнение:
$((Sk - x)k - x)k - x = 0$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:
$Sk^3 - (xk^2 + xk + x) = 0$
$Sk^3 = x(k^2 + k + 1)$
Выразим искомую сумму $S$:
$S = \frac{x(k^2 + k + 1)}{k^3}$
Подставим числовые значения $x = 172800$ и $k = 1{,}2$:
$S = \frac{172800 \cdot (1{,}44 + 1{,}2 + 1)}{1{,}728} = \frac{172800 \cdot 3{,}64}{1{,}728} = 100000 \cdot 3{,}64 = 364000.$

Ответ: 364000

Источник: ФИПИ

Доказательство:

Рассмотрим построение, при котором $BC = DM$ и $CD = BM$. В силу равенства противоположных сторон и их параллельности ($BC \parallel DM$ и $CD \parallel BM$), четырехугольник $BCDM$ является параллелограммом.
Обозначим величину угла $\angle CBD$ через $\alpha$. Тогда, учитывая параллельность прямых $BC$ и $DM$, накрест лежащий угол $\angle BDM$ также будет равен $\alpha$.
Согласно свойствам вписанных углов, дуга $CD$, на которую опирается угол $\angle CBD$, имеет градусную меру $2\alpha$: $$\text{◡}CD = 2\angle CBD = 2\alpha.$$
Аналогично, для дуги $AB$ получаем: $$\text{◡}AB = 2\angle ADB = 2\alpha.$$
Так как дуги $CD$ и $AB$ имеют одинаковую угловую величину, стягивающие их хорды также равны между собой, то есть $CD = AB$.

Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим данную систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} - a \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Проанализируем первое уравнение системы. Заметим, что переменная $x$ входит в него только в составе выражений $|x|$ и $x^2$. Это означает, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением системы, то и пара $(-x_0; y_0)$ также будет решением в силу чётности функций по $x$.
Для того чтобы решение системы было единственным, необходимо, чтобы выполнялось условие $x = -x$, то есть $x = 0$.
Подставим значение $x = 0$ в систему, чтобы найти потенциальные значения параметра $a$: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{0} + 6 \cdot 0 + 7 = 5 y + 6 \cdot 0 - a \\ 0^2 + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Из второго уравнения получаем: $y^2 = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.
Теперь подставим эти значения $y$ в упрощенное первое уравнение $12 = 5y - a$:
1) Если $y = 1$, то $12 = 5 - a$, откуда $a = -7$. Получаем точку $(0; 1)$.
2) Если $y = -1$, то $12 = -5 - a$, откуда $a = -17$. Получаем точку $(0; -1)$.

Необходимо проверить найденные значения параметра на единственность решения.
Случай $a = -7$:
Система принимает вид: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} + 7 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Из второго уравнения следует, что $x^2 \leq 1$ и $y^2 \leq 1$, то есть $x \in [-1; 1]$ и $y \in [-1; 1]$.
Выразим $y$ из первого уравнения: $$5y = 5 \cdot 2^{|x|} + 6|x| - 6x^2$$ $$y = 2^{|x|} + \frac{6|x|(1 - |x|)}{5}$$ Так как $|x| \geq 0$, то $2^{|x|} \geq 2^0 = 1$. Учитывая, что $|x| \leq 1$, выражение $(1 - |x|)$ неотрицательно, а значит, и вся дробь $\frac{6|x|(1 - |x|)}{5} \geq 0$.
Следовательно, $y \geq 1$. Но из второго уравнения мы знаем, что $y \leq 1$. Значит, единственно возможное значение $y = 1$.
При $y = 1$ из уравнения окружности получаем $x^2 + 1 = 1$, то есть $x = 0$. Решение $(0; 1)$ действительно единственное.

Случай $a = -17$:
Система выглядит так: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} + 17 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Выразим $y$: $$y = 2^{|x|} + \frac{6|x| - 6x^2}{5} - 2$$ Проверим наличие других решений, например, при $x = 1$: $$y = 2^1 + \frac{6 - 6}{5} - 2 = 0$$ Пара $(1; 0)$ удовлетворяет второму уравнению: $1^2 + 0^2 = 1$. Таким образом, кроме точки $(0; -1)$ есть и другие решения (в силу чётности также и $(-1; 0)$), значит, условие единственности не выполняется.
Единственным подходящим значением является $a = -7$.

Ответ: -7

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Приведём пример случая, когда есть 7 различных чисел, никакие два из которых не имеют общего делителя, большего 1.
Чтобы это условие выполнялось, запишем набор из простых чисел:
$1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 13 + 19 = 50 .$
Получаем набор различных натуральных чисел, у которых нет общего делителя, больше 1 и сумма равна 50 → Да, может.
б) Нам необходимо получить нечетную сумму, но в наборе может быть толькоодно четное число, иначе у двух чисел будет общий делитель 2. Значит у нас получается набор из одного четного числа и 6 нечетных:
$Ч + Н + Н + Н + Н + Н + Н \rightarrow Н + Н = Ч$ → сумма четная(а нам необходимополучить 47 - нечетное).
Тогда пусть все числа нечетные и наименьшие:
$1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = 57 > 47$ → Нет, не может.
в) Из пункт а мы выяснили, что в наборе возможно только одно четное число, тогда сумма для наименьших возможных чисел равна:
$1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 42 .$
А если у нас нет четных чисел, то с помощью пункта б получаем:
$1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = 57 .$
$57 > 42$ → Наименьшая возможная сумма равна 42.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 42

Источник: ФИПИ