Задание №8 — Исследование функций с помощью производной

Решение:
Согласно геометрическому смыслу производной, значение $f'(x_0)$ совпадает с угловым коэффициентом касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Этот коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси $Ox$.
Поскольку касательная образует с осью абсцисс тупой угол, мы можем вычислить тангенс смежного с ним острого угла $\alpha$ из прямоугольного треугольника и взять его со знаком «минус»:
$$f'(x_0) = \text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\,\alpha = -\frac{4}{1} = -4.$$

Ответ: -4

Источник: ФИПИ