Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Окружности и четырехугольники

Дано $ABCDE$ - вписанный пятиугольник, $BE \cap AD = M ,$ $BCDM$ - параллелограмм. Докажите, что две стороны пятиугольника равны.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Доказательство:

Рассмотрим построение, при котором $BC = DM$ и $CD = BM$ . В силу равенства противоположных сторон и их параллельности ( $BC \parallel DM$ и $CD \parallel BM$ ), четырехугольник $BCDM$ является параллелограммом.
Обозначим величину угла $\angle CBD$ через $\alpha$ . Тогда, учитывая параллельность прямых $BC$ и $DM$ , накрест лежащий угол $\angle BDM$ также будет равен $\alpha$ .
Согласно свойствам вписанных углов, дуга $CD$ , на которую опирается угол $\angle CBD$ , имеет градусную меру $2\alpha$ : $\text{◡}CD = 2\angle CBD = 2\alpha.$
Аналогично, для дуги $AB$ получаем: $\text{◡}AB = 2\angle ADB = 2\alpha.$
Так как дуги $CD$ и $AB$ имеют одинаковую угловую величину, стягивающие их хорды также равны между собой, то есть $CD = AB$ .

Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ