Доказательство:

Рассмотрим построение, при котором $BC = DM$ и $CD = BM$. В силу равенства противоположных сторон и их параллельности ($BC \parallel DM$ и $CD \parallel BM$), четырехугольник $BCDM$ является параллелограммом.
Обозначим величину угла $\angle CBD$ через $\alpha$. Тогда, учитывая параллельность прямых $BC$ и $DM$, накрест лежащий угол $\angle BDM$ также будет равен $\alpha$.
Согласно свойствам вписанных углов, дуга $CD$, на которую опирается угол $\angle CBD$, имеет градусную меру $2\alpha$: $$\text{◡}CD = 2\angle CBD = 2\alpha.$$
Аналогично, для дуги $AB$ получаем: $$\text{◡}AB = 2\angle ADB = 2\alpha.$$
Так как дуги $CD$ и $AB$ имеют одинаковую угловую величину, стягивающие их хорды также равны между собой, то есть $CD = AB$.

Что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ