Задание №16 — Вклады

Задание №16

В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исходную сумму вклада, если после третьего снятия на вкладе осталось 0 рублей, а всего было снято 518400 рублей.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:
Обозначим через $S$ первоначальный размер вклада. Процентная ставка составляет $r = 20\%$ , следовательно, ежегодный коэффициент роста вклада равен $k = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$ .
По условию, вкладчик трижды снимал одну и ту же сумму $x$ . Общая сумма изъятых средств составила $518400$ рублей, откуда находим величину одного снятия: $x = \frac{518400}{3} = 172800$ рублей.

Номер года	Сумма с процентами	Остаток после снятия $x$
2	$S \cdot k$	$S \cdot k - x$
3	$(S \cdot k - x) \cdot k$	$(S \cdot k - x) \cdot k - x$
4	$((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k$	$((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x$
...	...	...

Построим математическую модель:
К концу четвертого года (после третьего снятия) на счету не осталось средств. Это позволяет записать уравнение:
$((Sk - x)k - x)k - x = 0$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$ :
$Sk^3 - (xk^2 + xk + x) = 0$
$Sk^3 = x(k^2 + k + 1)$
Выразим искомую сумму $S$ :
$S = \frac{x(k^2 + k + 1)}{k^3}$
Подставим числовые значения $x = 172800$ и $k = 1{,}2$ :
$S = \frac{172800 \cdot (1{,}44 + 1{,}2 + 1)}{1{,}728} = \frac{172800 \cdot 3{,}64}{1{,}728} = 100000 \cdot 3{,}64 = 364000.$

Ответ: 364000

Источник: ФИПИ

Задание №16