Решение:
Для начала составим функцию прибыли предприятия $f(p)$, учитывая налог $t$ на каждую единицу товара. Формула прибыли выглядит следующим образом: доход минус переменные и постоянные издержки, а также налоговые выплаты: $$f(p) = PQ - 3000Q - 1000000 - tQ$$ Используя зависимость цены от объема $P = 15000 - Q$, преобразуем выражение: $$f(p) = (15000 - Q)Q - 3000Q - 1000000 - tQ = -Q^2 + 12000Q - 1000000 - tQ$$ Группируя слагаемые с $Q$, получаем квадратичную функцию: $$f(Q) = -Q^2 + Q(12000 - t) - 1000000$$ Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение прибыли достигается в ее вершине: $$Q_{max} = -\frac{b}{2a} = \frac{-(12000 - t)}{-2} = 6000 - \frac{t}{2}$$ Теперь выразим общую сумму налоговых поступлений в бюджет как $S = t \cdot Q$. Подставим найденное оптимальное значение $Q$: $$S(t) = t \left(6000 - \frac{t}{2}\right) = 6000t - \frac{t^2}{2}$$ Нам необходимо определить ставку $t$, при которой сумма налогов $S(t)$ будет максимальной. Функция $S(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 6000t$ также представляет собой квадратичную зависимость с ветвями параболы, направленными вниз. Максимум этой функции находится в точке: $$t = -\frac{6000}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{6000}{1} = 6000$$

Ответ: 6000

Источник: ФИПИ