Задание №16 — Оптимизация

Решение:
Составим функцию зависимости годовой прибыли предприятия от объёма производства $x$. Она вычисляется как разность между выручкой и общими издержками:
$f(x) = px - (0{,}5x^2 + x + 7) = -0{,}5x^2 + (p - 1)x - 7$.
Данная функция является квадратичной, а её графиком служит парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение такая функция достигает в вершине параболы:
$x_0 = \frac{-(p - 1)}{2 \cdot (-0{,}5)} = p - 1$.
Вычислим максимальную годовую прибыль, подставив $x_0$ в выражение функции:
$f(x_0) = -0{,}5(p - 1)^2 + (p - 1)(p - 1) - 7 = 0{,}5(p - 1)^2 - 7$.
По условию задачи завод стоимостью 100 млн рублей должен окупиться не более чем за 4 года. Это означает, что ежегодная прибыль должна составлять не менее четверти от стоимости завода:
$f(x_0) \geq \frac{100}{4}$.
Решим полученное неравенство:
$0{,}5(p - 1)^2 - 7 \geq 25$
$0{,}5(p - 1)^2 \geq 32$
$(p - 1)^2 \geq 64$
Отсюда следует совокупность неравенств:
$\left[\begin{matrix} p - 1 \geq 8 \\ p - 1 \leq -8 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} p \geq 9 \\ p \leq -7 \end{matrix}\right.$
Так как цена $p$ — величина положительная, нам подходит условие $p \geq 9$. Таким образом, минимально возможное целое значение цены составляет 9.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ