Решение:
Для начала составим выражение для прибыли предприятия. Обозначим её как функцию $f(p)$. Учитывая условия, получаем: $f(p) = PQ - 6000Q - 4000000 - tQ$. Так как по условию $P = 20000 - Q$, подставим это выражение в формулу: $f(p) = (20000 - Q)Q - 6000Q - 4000000 - tQ = -Q^2 + 14000Q - 4000000 - tQ$. Сгруппируем слагаемые относительно переменной $Q$: $f(Q) = -Q^2 + Q(14000 - t) - 4000000$. Перед нами квадратичная зависимость, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, наибольшее значение прибыли достигается в абсциссе вершины параболы: $Q_{верш} = -\frac{b}{2a} = \frac{-(14000 - t)}{-2} = 7000 - \frac{t}{2}$. Таким образом, при заданном налоге $t$ предприятие выберет объем производства $Q = 7000 - \frac{t}{2}$. Теперь выразим общую сумму налоговых поступлений в бюджет как функцию от ставки $t$: $S(t) = t \cdot Q = t \cdot (7000 - \frac{t}{2}) = 7000t - \frac{t^2}{2}$. Данная функция также является квадратичной, а её график — парабола, ветви которой смотрят вниз. Максимальное значение суммы налогов будет в точке вершины: $t_{max} = -\frac{b}{2a} = \frac{-7000}{2 \cdot (-0,5)} = 7000$.

Ответ: 7000

Источник: ФИПИ