Задание №13 — Кредиты

Решение:
Обозначим через $S = 6{,}6$ млн рублей величину кредита, выданного на срок $n = 5$ лет. Процентная ставка составляет $r \%$ годовых, тогда коэффициент увеличения долга равен $k = 1 + \frac{r}{100}.$ По условию, в течение первых трёх лет заёмщик выплачивает только начисленные проценты, а в последние два года (2030 и 2031) вносит одинаковые платежи, которые обозначим за $x$.
Проследим за динамикой задолженности в таблице:

Так как к концу 2031 года кредит должен быть полностью погашен, имеем уравнение:
$(Sk - x)k - x = 0$
$Sk^2 - xk - x = 0$
$Sk^2 - x(k + 1) = 0$
Откуда ежегодный платеж в последние два года равен: $x = \frac{Sk^2}{k + 1}.$
Согласно условию, совокупный объем всех выплат за 5 лет составляет 12,6 млн рублей:
$3 \cdot (0{,}01 rS) + 2x = 12{,}6$
Заменим $0{,}01 rS$ на $S(k - 1)$ и подставим выражение для $x$:
$3S(k - 1) + \frac{2Sk^2}{k + 1} = 12{,}6$
Подставим $S = 6{,}6$ и умножим обе части на $(k + 1)$:
$19{,}8(k - 1)(k + 1) + 13{,}2k^2 = 12{,}6(k + 1)$
$19{,}8(k^2 - 1) + 13{,}2k^2 = 12{,}6k + 12{,}6$
$19{,}8k^2 - 19{,}8 + 13{,}2k^2 - 12{,}6k - 12{,}6 = 0$
$33k^2 - 12{,}6k - 32{,}4 = 0$
Для удобства расчетов перейдем к обыкновенным дробям и упростим уравнение:
$33k^2 - \frac{63}{5}k - \frac{162}{5} = 0$
$165k^2 - 63k - 162 = 0$
Разделим на 3:
$55k^2 - 21k - 54 = 0$
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 55 \cdot (-54) = 441 + 11880 = 12321 = 111^2$
Находим корни уравнения:
$k = \frac{21 \pm 111}{110}$
Так как $k > 0$, получаем $k = \frac{132}{110} = 1{,}2.$
Зная $k$, определим процентную ставку:
$1 + \frac{r}{100} = 1{,}2 \Rightarrow \frac{r}{100} = 0{,}2 \Rightarrow r = 20.$

Ответ: 20

Источник: ФИПИ