#22682Задание №16ФИПИ

Прогрессии

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
—  1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
—  со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
—  15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
—  к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно $r ,$ если общая сумма платежей в 2027 году составила 6165 тысяч рублей?

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:
Обозначим через $S = 9$ млн рублей сумму кредита, выданного на срок $n = 24$ месяца. Процентная ставка составляет $r \%$ в месяц, тогда введем повышающий коэффициент $K = 1 + \frac{r}{100}.$ Согласно условию, остаток долга должен уменьшаться линейно (на одну и ту же величину каждый месяц). Таким образом, ежемесячное снижение тела долга составляет: $\frac{9}{24} = 0{,}375$ млн рублей.
Отразим динамику платежей в таблице:

Порядковый номер месяца	Сумма долга с процентами	Размер выплаты	Остаток основного долга
1	$9 K$	$9 K - 8{,}625$	8,625
2	$8{,}625 K$	$8{,}625 K - 8{,}25$	8,25
...	...	...	...
12	$4{,}875 K$	$4{,}875 K - 4{,}5$	4,5
...	...	...	...
24	$0{,}375 K$	$0{,}375 K$	0

В условии указана общая сумма выплат за 2027 год, что соответствует первым 12 месяцам кредитования.
Просуммируем платежи за этот период: $(9 K - 8{,}625) + (8{,}625 K - 8{,}25) + \dots + (4{,}875 K - 4{,}5)$ .
Для вычисления суммы воспользуемся формулой арифметической прогрессии:
$\frac{(9 K - 8{,}625) + (4{,}875 K - 4{,}5)}{2} \cdot 12 = 6 \cdot (13{,}875 K - 13{,}125) = 83{,}25 K - 78{,}75$
По условию эта сумма равна 6165 тыс. рублей, то есть $6{,}165$ млн рублей.
Решим полученное уравнение:
$83{,}25 K - 78{,}75 = 6{,}165$
$83{,}25 K = 84{,}915$
$K = 1{,}02.$
Отсюда находим процентную ставку: $r = 2 \%.$

Ответ: 2

Источник: ФИПИ