Задание 22

Расчётная задача по механике (один раздел курса) · 73 задания

Задание №22
№22
Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности Земли под углом 60° к горизонту, достиг максимальной высоты, равной 5 м. Сколько време…
Свободное падение
Задание №22
№22
Плоская льдина плавает в воде, выступая над её поверхностью на высоту h = 0,02 м. Определите массу льдины, если её площадь S = 2500 см². Плотность л…
Закон Архимеда. Условие плавания тел
Задание №22
№22
Определите время прохождения поездом последнего километра пути перед остановкой, если изменение его скорости на этом пути составило 10 м/с. Ускорение…
Равноускоренное прямолинейное движение
Задание №22
№22
Деревянная линейка длиной l = 90 см выдвинута за край стола на 1/4 часть своей длины. При этом она не опрокидывается, если на её правом конце лежит гр…
Условия равновесия твёрдого тела в ИСО
Задание №22
№22
Автомобиль массой 2500 кг двигался по дороге. Eгo положение на дороге изменялось согласно графику зависимости координаты х от времени t (см. рис.). Оп…
Кинетическая энергия материальной точки
Задание №22
№22
В процессе прямолинейного равноускоренного движения тело за 2 с прошло 20 м, увеличив свою скорость в 3 раза. Чему была равна начальная скорость тела?
Равноускоренное прямолинейное движение
Задание №22
№22
Два груза, связанных нерастяжимой и невесомой нитью, движутся по гладкой горизонтальной поверхности под действием горизонтальной силы F, приложенной к…
Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО
Задание №22
№22
Два груза, связанных нерастяжимой и невесомой нитью, движутся по гладкой горизонтальной поверхности под действием горизонтальной силы F, приложенной к…
Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО
Задание №22
№22
Последний километр пути перед остановкой поезд преодолел за 250 с. Какова была скорость поезда в начале торможения? Ускорение поезда считать постоянны…
Равноускоренное прямолинейное движение
Задание №22
№22
Груз подвешен на пружине жёсткостью 100 Н/м к потолку лифта. Лифт равноускоренно опускается вниз на расстояние 5 м в течение 2 с. Какова масса груза,…
Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО
Задание №22
№22
Тележка массой 50 кг движется со скоростью 1 м/с по гладкой горизонтальной дороге. Каким станет модуль скорости тележки, если мальчик массой 50 кг дог…
Закон изменения и сохранения импульса. Реактивное движение
Задание №22
№22
Груз массой 0,4 кг подвешен на пружине жёсткостью 100 Н/м к потолку лифта. Лифт равноускоренно поднимается вверх на расстояние 5 м в течение 2 с. Како…
Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО

Задание №22 — Гармонические колебания материальной точки

Тележка массой 0,5 кг, прикреплённая к горизонтальной пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает свободные гармонические колебания (см. рис.). Максимальная скорость тележки равна 3 м/с. Какова амплитуда колебаний тележки? Массой колёс можно пренебречь.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

Обозначения. $m = 0{,}5\ \text{кг}$ — масса тележки, $k = 200\ \text{Н/м}$ — жёсткость пружины, $v_{\text{макс}} = 3\ \text{м/с}$ — максимальная скорость тележки, $A$ — искомая амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $x$ — смещение тележки от положения равновесия.

Модель. Тележка, прикреплённая к горизонтальной пружине, представляет собой горизонтальный пружинный маятник. Массой колёс пренебрегаем, трения нет, деформации пружины упругие (закон Гука $F_{\text{упр}} = -kx$ ), поэтому колебания свободные гармонические. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры вертикальны и компенсируют друг друга, вдоль горизонтали на тележку действует только сила упругости пружины.

Первый способ (через циклическую частоту). Для пружинного маятника $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ . При гармоническом движении $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ , $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ , поэтому максимальный модуль скорости равен $v_{\text{макс}} = \omega A$ . Отсюда

$A = \dfrac{v_{\text{макс}}}{\omega} = v_{\text{макс}}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ .

Расчёт: $\omega = \sqrt{\dfrac{200\ \text{Н/м}}{0{,}5\ \text{кг}}} = 20\ \text{с}^{-1}$ , $A = \dfrac{3\ \text{м/с}}{20\ \text{с}^{-1}} = 0{,}15\ \text{м}$ .

Второй способ (закон сохранения энергии). Трения нет, поэтому полная механическая энергия сохраняется: в положении равновесия пружина не деформирована и скорость максимальна, в крайнем положении ( $|x| = A$ ) скорость равна нулю:

$\dfrac{m v_{\text{макс}}^2}{2} = \dfrac{k A^2}{2}$ , откуда $A = v_{\text{макс}}\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 3\ \text{м/с}\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}5\ \text{кг}}{200\ \text{Н/м}}} = 0{,}15\ \text{м}$ .

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $A = 0{,}15\ \text{м} = 15\ \text{см}$ .