Задание №22 — Гармонические колебания материальной точки

Решение:

Обозначения. $m = 2\ \text{кг}$ — масса тележки, $k = 200\ \text{Н/м}$ — жёсткость пружины, $A = 0{,}1\ \text{м}$ — амплитуда колебаний, $v_{\text{макс}}$ — искомая максимальная скорость тележки, $\omega$ — циклическая частота колебаний, $x$ — смещение тележки от положения равновесия.

Модель. Тележка на горизонтальной пружине — горизонтальный пружинный маятник. Массой колёс пренебрегаем, трения нет, деформации упругие (закон Гука $F_{\text{упр}} = -kx$), поэтому колебания свободные гармонические. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры вертикальны и компенсируют друг друга.

Первый способ (кинематика гармонических колебаний). Циклическая частота пружинного маятника $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$. При $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ скорость $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, поэтому

$v_{\text{макс}} = \omega A = A\sqrt{\dfrac{k}{m}}$.

Расчёт: $\omega = \sqrt{\dfrac{200\ \text{Н/м}}{2\ \text{кг}}} = 10\ \text{с}^{-1}$, тогда $v_{\text{макс}} = 0{,}1\ \text{м}\cdot 10\ \text{с}^{-1} = 1\ \text{м/с}$.

Второй способ (закон сохранения энергии). Трения нет, полная механическая энергия системы «тележка + пружина» сохраняется. В крайнем положении ($|x| = A$) скорость равна нулю и вся энергия — потенциальная энергия деформированной пружины, а в положении равновесия пружина не деформирована и вся энергия — кинетическая:

$\dfrac{k A^2}{2} = \dfrac{m v_{\text{макс}}^2}{2}$, откуда $v_{\text{макс}} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0{,}1\ \text{м}\cdot\sqrt{\dfrac{200\ \text{Н/м}}{2\ \text{кг}}} = 1\ \text{м/с}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $v_{\text{макс}} = 1\ \text{м/с}$.