Задание №26 — Сила трения (покоя, скольжения)

Решение:

Обоснование применимости законов. Все тела рассматриваем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Доска движется поступательно и равномерно ($\vec{v} = \mathrm{const}$), поэтому её ускорение равно нулю и векторная сумма приложенных к ней сил равна нулю. Стержень неподвижен, значит для него выполняются оба условия равновесия твёрдого тела: сумма внешних сил равна нулю и сумма моментов внешних сил относительно любой оси равна нулю. Стержень протяжённый, поэтому необходимо правило моментов; он однородный и тонкий, поэтому его центр тяжести — середина стержня, и сила тяжести приложена там. Нижний конец стержня скользит по доске, поэтому в точке контакта действует сила трения скольжения, подчиняющаяся закону Амонтона — Кулона $F_{\text{тр}} = \mu N$ и направленная по поверхности доски в сторону движения доски относительно стержня, то есть влево. Доска горизонтальна, поэтому сила нормальной реакции доски вертикальна. Трением в шарнире пренебрегаем, поэтому, выбрав ось моментов проходящей через шарнир, мы исключаем неизвестную силу реакции шарнира из уравнения. Трением доски об опору пренебрегаем, поэтому горизонтально на доску действуют только сила $\vec{F}$ и сила трения со стороны стержня.

Обозначения. $m = 1{,}6$ кг — масса стержня; $l$ — его длина; $\alpha = 30^{\circ}$ — угол между стержнем и доской; $\mu = 0{,}3$ — коэффициент трения стержня по доске; $N$ — модуль силы нормальной реакции доски, действующей на стержень; $F_{\text{тр}} = \mu N$ — модуль силы трения скольжения; $F$ — искомый модуль горизонтальной силы, приложенной к доске; $g = 10$ м/с².

Рисунок (силы). На стержень действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная в середине стержня, — вертикально вниз; в нижнем конце — сила нормальной реакции доски $\vec{N}$ вертикально вверх и сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$ горизонтально влево (в сторону движения доски); в верхнем конце — сила реакции шарнира $\vec{R}$. На доску действуют: приложенная сила $\vec{F}$ — горизонтально влево; сила нормального давления стержня $\vec{N}'$ — вертикально вниз ($N' = N$ по третьему закону Ньютона); сила трения со стороны стержня $\vec{F}'_{\text{тр}} = \mu N$ — горизонтально вправо, против движения доски; сила тяжести доски и сила нормальной реакции опоры — вертикальные.

1. Стержень. Запишем правило моментов относительно горизонтальной оси, проходящей через шарнир $O$. Нижний конец стержня удалён от шарнира по горизонтали на $l\cos\alpha$, по вертикали на $l\sin\alpha$; центр стержня — по горизонтали на $\tfrac{l}{2}\cos\alpha$.

Момент силы тяжести: $M_{1} = mg\,\dfrac{l}{2}\cos\alpha$ (поворачивает стержень в сторону увеличения угла $\alpha$).

Момент силы нормальной реакции: $M_{2} = N\,l\cos\alpha$ (противоположного направления).

Момент силы трения (плечо — вертикальное расстояние до оси): $M_{3} = \mu N\,l\sin\alpha$; сила трения направлена влево, то есть отодвигает нижний конец стержня от вертикали, проходящей через шарнир, и её момент направлен так же, как момент силы $\vec{N}$.

Условие равновесия по моментам:

$$mg\,\frac{l}{2}\cos\alpha = N\,l\cos\alpha + \mu N\,l\sin\alpha .$$

Длина $l$ сокращается, и

$$N = \frac{mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} = \frac{mg}{2\,(1 + \mu\,\mathrm{tg}\,\alpha)} .$$

2. Доска. Доска движется поступательно с постоянной скоростью, поэтому сумма сил равна нулю; в проекции на горизонтальное направление $F = \mu N$ (по третьему закону Ньютона стержень давит на доску с силой $N$ и действует на неё силой трения $\mu N$, направленной против движения доски). Значит,

$$F = \frac{\mu\,mg}{2\,(1 + \mu\,\mathrm{tg}\,\alpha)} .$$

Численный расчёт ($\mathrm{tg}\,30^{\circ} \approx 0{,}577$, $\mu\,\mathrm{tg}\,\alpha \approx 0{,}173$):

$$N = \frac{1{,}6\cdot 10}{2\cdot 1{,}173} \approx 6{,}8\ \text{Н},\qquad F = 0{,}3\cdot 6{,}8 \approx 2{,}0\ \text{Н}.$$

Проверка: при $\mu \to 0$ сила нормальной реакции стремится к $mg/2 = 8$ Н — половине веса стержня, что естественно для однородного стержня, опирающегося концами на шарнир и на опору; трение слегка уменьшает $N$ (до 6,8 Н), и это разумно.

Ответ: $F = \dfrac{\mu m g}{2(1 + \mu\,\mathrm{tg}\,\alpha)} \approx 2{,}0$ Н.