Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную с полом и стеной (Землёй), считаем инерциальной, поэтому применим второй закон Ньютона. Оба тела движутся поступательно вдоль одной горизонтальной прямой, поэтому их можно рассматривать как материальные точки. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом и вращается без трения, поэтому сила натяжения одинакова во всех точках нити и равна $T$; равнодействующая сил, с которыми нить действует на блок, равна $2T$ и направлена к стене, так как обе ветви нити горизонтальны, параллельны и обе идут от блока к стене. Трения в задаче нет (поверхность гладкая, блок идеальный), поэтому горизонтально на брусок действуют только сила $\vec{F}$ и силы со стороны нити. Нерастяжимость нити даёт кинематическую связь: блок является подвижным, и при смещении бруска (вместе с блоком) на расстояние $s$ от стены длина ветви «стена — блок» увеличивается на $s$, а тело $m$ должно приблизиться к блоку так, чтобы полная длина нити не изменилась; отсюда смещение тела $m$ равно $2s$, а значит $a_{m} = 2a$. Все силы постоянны, поэтому ускорения постоянны.

Обозначения. $M = 2$ кг — масса бруска (вместе с закреплённым на нём лёгким блоком); $m = 0{,}75$ кг — масса тела на конце нити; $F = 10$ Н — модуль приложенной к бруску силы; $T$ — модуль силы натяжения нити; $a$ — искомый модуль ускорения бруска; $a_{m} = 2a$ — модуль ускорения тела $m$.

Силы. На брусок с блоком в горизонтальном направлении действуют: сила $\vec{F}$, направленная от стены, и две силы натяжения нити, каждая модулем $T$, приложенные к блоку и направленные к стене (суммарно $2T$); в вертикальном направлении — сила тяжести $M\vec{g}$ и сила нормальной реакции пола, которые уравновешивают друг друга. На тело $m$ в горизонтальном направлении действует только сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная от стены — к блоку (то есть в ту же сторону, куда движется брусок); в вертикальном направлении сила тяжести $m\vec{g}$ уравновешена нормальной реакцией пола.

Ось $Ox$ направим горизонтально в сторону действия силы $\vec{F}$ (от стены). Второй закон Ньютона:

для бруска с блоком: $\ F - 2T = Ma;$

для тела $m$: $\ T = m\,a_{m} = 2ma.$

Подставляя $T = 2ma$ в первое уравнение, получаем

$$F - 4ma = Ma \quad \Rightarrow \quad a = \frac{F}{M + 4m}.$$

Численный расчёт:

$$a = \frac{10}{2 + 4\cdot 0{,}75} = \frac{10}{5} = 2\ \text{м/с}^{2}.$$

Проверка: $T = 2ma = 2\cdot 0{,}75\cdot 2 = 3$ Н, тогда $F - 2T = 10 - 6 = 4$ Н $= Ma = 2\cdot 2 = 4$ Н — уравнения согласованы; ускорение тела $m$ равно $a_{m} = 4$ м/с².

Ответ: $a = \dfrac{F}{M + 4m} = 2$ м/с² (при этом $T = 3$ Н, $a_{m} = 4$ м/с²).