Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную со столом (Землёй), считаем инерциальной, поэтому применим второй закон Ньютона. Брусок движется поступательно, груз — поступательно вниз по вертикали; размеры тел не влияют на решение, поэтому оба тела рассматриваем как материальные точки. Нить невесома и нерастяжима, а блок гладкий (трения в блоке нет) и невесом, поэтому модуль силы натяжения одинаков во всех точках нити, а модули ускорений бруска и груза равны: $a_{M} = a_{m} = a$. Брусок скользит по столу, поэтому сила трения — сила трения скольжения, и справедлив закон Амонтона — Кулона $F_{\text{тр}} = \mu N$, где $N$ находится из условия отсутствия ускорения бруска в вертикальном направлении (брусок не отрывается от стола: как показано ниже, $N \gt 0$). Все действующие силы постоянны, поэтому ускорение постоянно, а движение из состояния покоя — равноускоренное, и применима формула кинематики $L = \dfrac{a t^{2}}{2}$.

Обозначения. $M = 1$ кг — масса бруска; $m = 500$ г $= 0{,}5$ кг — масса груза; $F = 9$ Н — модуль приложенной к бруску силы; $\alpha = 30^{\circ}$ — угол между $\vec{F}$ и горизонтом; $\mu = 0{,}3$ — коэффициент трения бруска о стол; $L = 32$ см $= 0{,}32$ м — путь, который должен пройти груз; $T$ — модуль силы натяжения нити; $N$ — модуль силы нормальной реакции стола; $a$ — модуль ускорения тел; $t$ — искомое время; $g = 10$ м/с².

Рисунок (силы). На брусок действуют четыре силы: сила тяжести $M\vec{g}$ — вертикально вниз; сила нормальной реакции стола $\vec{N}$ — вертикально вверх; приложенная сила $\vec{F}$ — под углом $\alpha$ к горизонту вверх и вправо (от блока); сила натяжения нити $\vec{T}$ — горизонтально влево, к блоку; сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$ — горизонтально влево, против движения бруска. На груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз и сила натяжения нити $\vec{T}$ — вертикально вверх.

Ось $Ox$ для бруска направим горизонтально вправо (в сторону его движения), ось $Oy$ — вертикально вверх; для груза ось направим вертикально вверх (в сторону его движения). Второй закон Ньютона в проекциях:

брусок, $Ox$: $\ F\cos\alpha - T - F_{\text{тр}} = Ma;$

брусок, $Oy$: $\ N + F\sin\alpha - Mg = 0\ \Rightarrow\ N = Mg - F\sin\alpha;$

груз: $\ T - mg = ma.$

Сила трения скольжения: $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu\,(Mg - F\sin\alpha)$. Складывая первое и третье уравнения (сила натяжения $T$ исключается), получаем

$$F\cos\alpha - \mu\,(Mg - F\sin\alpha) - mg = (M + m)\,a,$$

$$a = \frac{F\cos\alpha - \mu\,(Mg - F\sin\alpha) - mg}{M + m}.$$

Численный расчёт: $F\cos\alpha = 9\cdot 0{,}866 \approx 7{,}79$ Н; $F\sin\alpha = 9\cdot 0{,}5 = 4{,}5$ Н; $N = 1\cdot 10 - 4{,}5 = 5{,}5$ Н $\gt 0$ (брусок прижат к столу); $F_{\text{тр}} = 0{,}3\cdot 5{,}5 = 1{,}65$ Н; $mg = 5$ Н. Тогда

$$a = \frac{7{,}79 - 1{,}65 - 5}{1{,}5} \approx \frac{1{,}14}{1{,}5} \approx 0{,}76\ \text{м/с}^{2}.$$

Так как $a \gt 0$, груз действительно поднимается. Движение равноускоренное без начальной скорости, поэтому $L = \dfrac{a t^{2}}{2}$, откуда

$$t = \sqrt{\frac{2L}{a}} = \sqrt{\frac{2\cdot 0{,}32}{0{,}76}} \approx \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}92\ \text{с}.$$

Проверка: сила натяжения нити $T = m(g + a) = 0{,}5\cdot 10{,}76 \approx 5{,}4$ Н; подстановка в уравнение бруска даёт $7{,}79 - 5{,}4 - 1{,}65 \approx 0{,}76$ Н $= Ma$ — уравнения согласованы.

Ответ: $a \approx 0{,}76$ м/с²; $t = \sqrt{\dfrac{2L(M+m)}{F\cos\alpha - \mu(Mg - F\sin\alpha) - mg}} \approx 0{,}92$ с.