Задание №26 — Сила трения (покоя, скольжения)

Решение:

Обоснование применимости законов. Все тела рассматриваем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Доска движется поступательно и равномерно ($\vec{v} = \mathrm{const}$), поэтому её ускорение равно нулю и сумма действующих на неё сил равна нулю. Стержень неподвижен, значит для него выполняются оба условия равновесия твёрдого тела: сумма внешних сил равна нулю и сумма моментов внешних сил относительно любой оси равна нулю. Стержень нельзя считать материальной точкой (он протяжённый и вращения относительно шарнира не происходит только благодаря балансу моментов), но он однородный и тонкий, поэтому его центр тяжести находится в середине, и сила тяжести приложена в этой точке. Нижний конец стержня скользит по доске (доска движется относительно стержня), поэтому в точке контакта действует сила трения скольжения, для которой справедлив закон Амонтона — Кулона $F_{\text{тр}} = \mu N$; она направлена по поверхности доски в сторону движения доски относительно стержня, то есть влево. Поверхность доски горизонтальна, поэтому сила нормальной реакции доски вертикальна. Трением в шарнире пренебрегаем, поэтому сила реакции шарнира приложена в точке подвеса и её момент относительно оси, проходящей через шарнир, равен нулю — выбрав эту ось, мы исключаем неизвестную реакцию шарнира из уравнения моментов. Трением доски об опору пренебрегаем, поэтому в горизонтальном направлении на доску действуют только сила $\vec{F}$ и сила трения со стороны стержня.

Обозначения. $m$ — искомая масса стержня; $l$ — длина стержня; $\alpha = 30^{\circ}$ — угол между стержнем и доской; $F = 2$ Н — модуль горизонтальной силы, приложенной к доске; $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения стержня по доске; $N$ — модуль силы нормальной реакции доски, действующей на стержень; $F_{\text{тр}} = \mu N$ — модуль силы трения скольжения между стержнем и доской; $g = 10$ м/с².

Рисунок (силы). На стержень действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная в середине стержня и направленная вертикально вниз; в нижнем конце — сила нормальной реакции доски $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, и сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная горизонтально влево (в сторону движения доски); в верхнем конце — сила реакции шарнира $\vec{R}$ (её направление заранее неизвестно, но её момент относительно шарнира равен нулю). На доску действуют: приложенная сила $\vec{F}$ — горизонтально влево; сила нормального давления стержня $\vec{N}'$ — вертикально вниз ($N' = N$ по третьему закону Ньютона); сила трения со стороны стержня $\vec{F}'_{\text{тр}}$ — горизонтально вправо, против движения доски ($F'_{\text{тр}} = \mu N$); сила тяжести доски и сила нормальной реакции опоры — вертикальные.

1. Доска. Так как доска движется равномерно и поступательно, сумма сил равна нулю; в проекции на горизонтальное направление:

$$F - \mu N = 0 \quad \Rightarrow \quad N = \frac{F}{\mu} = \frac{2}{0{,}2} = 10\ \text{Н}.$$

2. Стержень. Запишем правило моментов относительно горизонтальной оси, проходящей через шарнир $O$ перпендикулярно плоскости рисунка. Нижний конец стержня удалён от шарнира по горизонтали на $l\cos\alpha$ и по вертикали на $l\sin\alpha$, центр стержня — на $\tfrac{l}{2}\cos\alpha$ по горизонтали.

Момент силы тяжести (вертикальная сила, плечо — горизонтальное расстояние): $M_{1} = mg\cdot\dfrac{l}{2}\cos\alpha$ — он поворачивает стержень в сторону увеличения угла $\alpha$.

Момент силы нормальной реакции (вертикальная сила, плечо — горизонтальное расстояние): $M_{2} = N\,l\cos\alpha$ — противоположного направления.

Момент силы трения (горизонтальная сила, плечо — вертикальное расстояние): $M_{3} = \mu N\,l\sin\alpha$ — так как сила трения направлена влево, то есть отодвигает нижний конец от вертикали, проходящей через шарнир, её момент направлен так же, как момент силы $\vec{N}$.

Условие равновесия стержня по моментам:

$$mg\,\frac{l}{2}\cos\alpha = N\,l\cos\alpha + \mu N\,l\sin\alpha.$$

Длина стержня $l$ сокращается:

$$mg = 2N\,\frac{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2N\,(1 + \mu\,\mathrm{tg}\,\alpha),\qquad m = \frac{2F\,(1 + \mu\,\mathrm{tg}\,\alpha)}{\mu g}.$$

Численный расчёт ($\mathrm{tg}\,30^{\circ} = \tfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$):

$$m = \frac{2\cdot 10\cdot(1 + 0{,}2\cdot 0{,}577)}{10} = 2\cdot 1{,}115 \approx 2{,}2\ \text{кг}.$$

Проверка: при $\mu \to 0$ формула даёт $m = 2N/g$, то есть привычный результат «половина веса стержня приходится на опору», как для стержня на шарнире и опоре в его конце. Сила трения слегка «разгружает» доску, поэтому масса получается немного больше, чем $2N/g = 2$ кг.

Ответ: $m = \dfrac{2F(1 + \mu\,\mathrm{tg}\,\alpha)}{\mu g} \approx 2{,}2$ кг.