Задание №26 — Масса. Объём. Плотность.

Решение:

Обоснование применимости законов. Сосуд с водой и шар покоятся относительно Земли, связанную с сосудом систему отсчёта считаем инерциальной, поэтому к шару применимо условие равновесия: векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю (второй закон Ньютона при $\vec{a} = 0$). Вода покоится, шар погружён в неё полностью, поэтому со стороны воды на шар действует выталкивающая сила, вычисляемая по закону Архимеда $F_{\text{А}} = \rho_0 g V$; площадью соприкосновения шара со стенкой пренебрегаем, так как шар касается плоской стенки практически в одной точке, и вода имеет доступ ко всей его поверхности. Нить невесома и нерастяжима, поэтому сила натяжения направлена вдоль нити. Трение шара о стенку по условию отсутствует, поэтому сила реакции стенки перпендикулярна стенке, то есть горизонтальна. Так как требуется лишь равенство нулю суммы сил, шар рассматриваем как материальную точку. Шар однородный (сплошной свинцовый), поэтому его объём $V = m/\rho$. Поле тяжести в пределах сосуда однородно, $g = 10$ м/с².

Обозначения. $m$ — масса шара; $V$ — его объём; $\rho = 11300$ кг/м³ — плотность свинца; $\rho_0 = 1000$ кг/м³ — плотность воды; $T = 30$ Н — модуль силы натяжения нити; $N$ — модуль силы нормальной реакции стенки; $\alpha = 30^{\circ}$ — угол нити с вертикалью; $g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения.

Рисунок (силы, действующие на шар). К центру шара приложены три силы: сила тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз; сила Архимеда $\vec{F}_{\text{А}}$ — вертикально вверх; сила натяжения нити $\vec{T}$ — вдоль нити вверх и влево, под углом $\alpha$ к вертикали (к точке подвеса). В точке касания шара со стенкой приложена сила нормальной реакции стенки $\vec{N}$ — горизонтально вправо, перпендикулярно стенке (силы трения о стенку нет).

Ось $Ox$ направим горизонтально вправо (от стенки), ось $Oy$ — вертикально вверх. Условие равновесия $m\vec{g} + \vec{F}_{\text{А}} + \vec{T} + \vec{N} = \vec{0}$ в проекциях на оси даёт:

$Ox:\quad N - T\sin\alpha = 0;$

$Oy:\quad T\cos\alpha + F_{\text{А}} - mg = 0.$

По закону Архимеда $F_{\text{А}} = \rho_0 g V$, а объём шара выражается через его массу и плотность свинца: $V = \dfrac{m}{\rho}$. Следовательно, $F_{\text{А}} = \dfrac{\rho_0}{\rho}\,mg$.

Подставим это в уравнение для оси $Oy$:

$$T\cos\alpha = mg - \frac{\rho_0}{\rho}\,mg = mg\,\frac{\rho - \rho_0}{\rho}.$$

Отсюда искомая масса шара:

$$m = \frac{\rho\,T\cos\alpha}{g\,(\rho - \rho_0)}.$$

Численный расчёт ($\cos 30^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$):

$$m = \frac{11300 \cdot 30 \cdot 0{,}866}{10 \cdot (11300 - 1000)} = \frac{2{,}94\cdot 10^{5}}{1{,}03\cdot 10^{5}} \approx 2{,}85\ \text{кг}.$$

Проверка разумности: сила Архимеда $F_{\text{А}} = \dfrac{\rho_0}{\rho}mg \approx 2{,}5$ Н составляет лишь около 9 % от веса шара $mg \approx 28{,}5$ Н — это согласуется с тем, что плотность свинца более чем в 11 раз больше плотности воды; вертикальная проекция натяжения $T\cos\alpha \approx 26{,}0$ Н действительно равна $mg - F_{\text{А}}$. Сила давления шара на стенку по третьему закону Ньютона равна $N = T\sin\alpha = 15$ Н.

Ответ: $m = \dfrac{\rho T\cos\alpha}{g(\rho-\rho_0)} \approx 2{,}85$ кг ($\approx 2{,}9$ кг).