Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Брусок и груз движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками; система отсчёта, связанная со столом и Землёй, инерциальна, поле тяжести однородно — применим второй закон Ньютона. Нить невесома и нерастяжима, а блок невесом и гладкий, поэтому сила натяжения одинакова по всей длине нити, а модули скоростей и ускорений бруска и груза в любой момент одинаковы. Брусок скользит по столу, поэтому сила трения — это сила трения скольжения, и для неё справедлив закон Амонтона — Кулона $F_{\text{тр}}=\mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции стола. Брусок не отрывается от стола и не проваливается сквозь него, то есть вертикальная составляющая его ускорения равна нулю; это даёт уравнение для $N$. Все действующие силы постоянны, поэтому движение равноускоренное и применима кинематическая формула $v^{2}=2aL$.

Рисунок (силы, действующие на тела). На брусок действуют: сила тяжести $M\vec g$ — вертикально вниз; сила нормальной реакции стола $\vec N$ — вертикально вверх; приложенная сила $\vec F$ — под углом $\alpha=30^{\circ}$ вверх от горизонта, в сторону от блока; сила натяжения нити $\vec T$ — горизонтально, в сторону блока; сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ — горизонтально, против движения бруска, то есть тоже в сторону блока. На груз действуют: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз; сила натяжения нити $\vec T$ — вертикально вверх.

Обозначения. $M=1\ \text{кг}$ — масса бруска; $m=500\ \text{г}=0{,}5\ \text{кг}$ — масса груза; $F=9\ \text{Н}$ — приложенная сила; $\alpha=30^{\circ}$ — угол между $\vec F$ и горизонтом; $\mu=0{,}3$ — коэффициент трения между бруском и столом; $L=32\ \text{см}=0{,}32\ \text{м}$ — расстояние, которое проходит груз; $N$ — сила нормальной реакции стола; $T$ — сила натяжения нити; $a$ — общий модуль ускорения тел; $v$ — искомая скорость груза; $g=10\ \text{м/с}^2$.

1. Уравнения движения. Для бруска направим ось $Ox$ горизонтально в сторону его движения (от блока), ось $Oy$ — вертикально вверх; для груза ось направим вертикально вверх, в сторону его движения:

$$Ox:\quad F\cos\alpha-T-F_{\text{тр}}=Ma,\qquad Oy:\quad N+F\sin\alpha-Mg=0,$$

$$\text{груз:}\quad T-mg=ma,\qquad F_{\text{тр}}=\mu N.$$

2. Сила нормальной реакции и сила трения.

$$N=Mg-F\sin\alpha=1\cdot 10-9\cdot 0{,}5=5{,}5\ \text{Н}\gt 0,\qquad F_{\text{тр}}=\mu N=0{,}3\cdot 5{,}5=1{,}65\ \text{Н}.$$

3. Ускорение. Складывая уравнение для бруска вдоль $Ox$ и уравнение для груза, исключаем $T$:

$$a=\frac{F\cos\alpha-\mu(Mg-F\sin\alpha)-mg}{M+m}.$$

Вычисление ($\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}87$):

$$a=\frac{9\cdot 0{,}87-1{,}65-0{,}5\cdot 10}{1+0{,}5}=\frac{7{,}79-1{,}65-5}{1{,}5}\approx 0{,}76\ \text{м/с}^2.$$

4. Скорость груза. Движение начинается из состояния покоя и является равноускоренным, поэтому

$$v=\sqrt{2aL}=\sqrt{2\cdot 0{,}76\cdot 0{,}32}\approx 0{,}7\ \text{м/с}.$$

Ответ: $v\approx 0{,}7\ \text{м/с}$.