Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Тело и пулю считаем материальными точками, так как их размеры малы по сравнению с радиусом полусферы. Система отсчёта, связанная с Землёй, инерциальна, поле тяжести однородно. Удар кратковременный, и смещением тела за время удара можно пренебречь; за это время импульс внешних сил (силы тяжести и силы нормальной реакции полусферы) пренебрежимо мал по сравнению с импульсом пули, а в верхней точке полусферы реакция вертикальна и горизонтальной составляющей не имеет. Поэтому в проекции на горизонтальное направление импульс системы «пуля + тело» при ударе сохраняется. Удар абсолютно неупругий: пуля застревает в теле, и дальше они движутся как одно тело массой $M+m$. После удара тело скользит по гладкой (без трения) неподвижной полусфере, сопротивление воздуха отсутствует; на тело действуют сила тяжести (консервативная) и сила нормальной реакции, которая перпендикулярна скорости и работы не совершает. Значит, механическая энергия тела сохраняется. Пока тело не оторвалось от поверхности, оно движется по окружности радиуса $R$, поэтому второй закон Ньютона в проекции на направление к центру полусферы даёт связь между реакцией опоры и центростремительным ускорением; момент отрыва определяется условием $N=0$.

Обозначения. $M=0{,}99\ \text{кг}$ — масса тела; $m=0{,}01\ \text{кг}$ — масса пули; $v_0=200\ \text{м/с}$ — скорость пули; $u$ — скорость тела с застрявшей пулей сразу после удара; $R$ — искомый радиус полусферы; $\theta$ — угол между вертикалью и радиусом, проведённым в точку, где находится тело; $v$ — скорость тела в момент отрыва; $N$ — сила нормальной реакции полусферы; $h=1\ \text{м}$ — высота точки отрыва над основанием полусферы; $g=10\ \text{м/с}^2$.

1. Удар. Закон сохранения импульса в проекции на горизонталь:

$$mv_0=(M+m)u\ \Rightarrow\ u=\frac{mv_0}{M+m}=\frac{0{,}01\cdot 200}{0{,}99+0{,}01}=2\ \text{м/с}.$$

2. Условие отрыва. Центр полусферы лежит в плоскости её основания, поэтому высота точки поверхности, для которой радиус составляет с вертикалью угол $\theta$, равна $R\cos\theta$; в момент отрыва $R\cos\theta=h$. Второй закон Ньютона в проекции на направление к центру полусферы:

$$(M+m)g\cos\theta-N=\frac{(M+m)v^{2}}{R}.$$

В момент отрыва $N=0$, поэтому

$$v^{2}=gR\cos\theta=gh.$$

3. Закон сохранения механической энергии (нулевой уровень — основание полусферы; начальная высота тела равна $R$):

$$\frac{(M+m)u^{2}}{2}+(M+m)gR=\frac{(M+m)v^{2}}{2}+(M+m)gh\ \Rightarrow\ v^{2}=u^{2}+2g(R-h).$$

4. Радиус полусферы. Приравнивая два выражения для $v^{2}$:

$$gh=u^{2}+2g(R-h)\ \Rightarrow\ 3gh=u^{2}+2gR\ \Rightarrow\ R=\frac{3gh-u^{2}}{2g}.$$

Вычисление:

$$R=\frac{3\cdot 10\cdot 1-2^{2}}{2\cdot 10}=\frac{30-4}{20}=1{,}3\ \text{м}.$$

Проверка: $h=1\ \text{м}\lt R=1{,}3\ \text{м}$, то есть точка отрыва действительно лежит на полусфере ($\cos\theta=h/R\approx 0{,}77\lt 1$); кроме того, $u^{2}=4\ \text{м}^2/\text{с}^2\lt gR=13\ \text{м}^2/\text{с}^2$, поэтому в верхней точке тело от поверхности не отрывается и начинает скользить по ней.

Ответ: $R=1{,}3\ \text{м}$.