Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Брусок и тело движутся поступательно вдоль одной прямой, поэтому их можно считать материальными точками. Система отсчёта, связанная со стеной и Землёй, инерциальна, поэтому применим второй закон Ньютона. Нить лёгкая и нерастяжимая, блок лёгкий, трения в оси блока нет: значит, сила натяжения одинакова по всей длине нити и равна $T$, а нерастяжимость нити задаёт кинематическую связь между ускорениями бруска и тела. Массой блока пренебрегаем, поэтому равнодействующая сил натяжения, приложенных к блоку со стороны обеих частей нити, целиком передаётся бруску (для невесомого блока сумма всех действующих на него сил равна нулю). Трением тел о поверхность пренебрегаем, поэтому горизонтальными силами являются только сила $\vec F$ и силы натяжения нити. Свободные куски нити горизонтальны и лежат в одной вертикальной плоскости, поэтому все силы натяжения горизонтальны и вертикальные уравнения на движение вдоль горизонтали не влияют. Поле тяжести однородно.

Обозначения. $M=2\ \text{кг}$ — масса бруска (вместе с невесомым блоком); $m=0{,}75\ \text{кг}$ — масса тела; $F=10\ \text{Н}$ — приложенная к бруску сила; $T$ — сила натяжения нити; $a$ — искомый модуль ускорения бруска; $a_m$ — модуль ускорения тела.

1. Кинематическая связь. Пусть брусок вместе с блоком сместился на $\Delta x$ в направлении силы $\vec F$, то есть от стены. Тогда участок нити «блок — стена» удлинится на $\Delta x$; так как нить нерастяжима, участок «блок — тело» на столько же укоротится. Расстояние от блока до тела уменьшилось на $\Delta x$, а сам блок сместился на $\Delta x$ от стены, поэтому тело сместилось на $2\Delta x$ в ту же сторону. Так как это верно в любой момент времени, то

$$a_m=2a.$$

2. Второй закон Ньютона для тела (единственная горизонтальная сила — натяжение нити, направленное к блоку, то есть в сторону движения):

$$T=ma_m=2ma.$$

3. Второй закон Ньютона для бруска с блоком. К блоку приложены две силы натяжения по $T$, обе направлены горизонтально от блока в сторону стены (одна — вдоль участка нити к стене, другая — вдоль участка нити к телу), то есть противоположно $\vec F$. В проекции на направление силы $\vec F$:

$$F-2T=Ma.$$

4. Решение системы. Подставляя $T=2ma$:

$$F-4ma=Ma\ \Rightarrow\ a=\frac{F}{M+4m}.$$

Вычисление:

$$a=\frac{10}{2+4\cdot 0{,}75}=\frac{10}{5}=2\ \text{м/с}^2.$$

Проверка: тогда $a_m=4\ \text{м/с}^2$, $T=ma_m=3\ \text{Н}$, и для бруска $F-2T=10-6=4\ \text{Н}=Ma=2\cdot 2\ \text{Н}$ — уравнения согласованы.

Ответ: $a=2\ \text{м/с}^2$ (при этом тело движется с ускорением $4\ \text{м/с}^2$).