Задание №26 — Движение под углом к горизонту

Решение:

Обоснование применимости законов. Шарик мал по сравнению с длиной ствола и дальностью полёта, поэтому считаем его материальной точкой. Система отсчёта, связанная с Землёй, инерциальна; поле тяжести однородно, поэтому ускорение свободного падения постоянно по модулю и направлению. Трение в стволе отсутствует, сопротивлением воздуха пренебрегаем, пружина лёгкая, а сила нормальной реакции стенок ствола перпендикулярна перемещению шарика и работы не совершает. Поэтому при выстреле для системы «пружина + шарик + Земля» выполняется закон сохранения механической энергии: энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию шарика и в приращение его потенциальной энергии при подъёме вдоль ствола. После вылета из дула на шарик действует только сила тяжести, поэтому он движется равноускоренно с ускорением $\vec g$, то есть как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту (начальная скорость направлена вдоль ствола). Точка $M$ находится на одной высоте с дулом, поэтому применима формула дальности полёта для броска под углом к горизонту.

Обозначения. $E=0{,}25\ \text{Дж}$ — энергия сжатой пружины; $m$ — искомая масса шарика; $b=0{,}5\ \text{м}$ — путь шарика по стволу; $\alpha=30^{\circ}$ — угол наклона ружья к горизонту; $v$ — модуль скорости шарика при вылете из дула; $L=1\ \text{м}$ — расстояние от дула до точки $M$; $g=10\ \text{м/с}^2$.

1. Полёт шарика. Так как точка $M$ лежит на одной высоте с дулом, время полёта $t=\dfrac{2v\sin\alpha}{g}$, а дальность

$$L=v\cos\alpha\cdot t=\frac{v^{2}\sin 2\alpha}{g}\ \Rightarrow\ v^{2}=\frac{gL}{\sin 2\alpha}.$$

Вычисление ($\sin 2\alpha=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}87$):

$$v^{2}=\frac{10\cdot 1}{0{,}87}\approx 11{,}5\ \text{м}^2/\text{с}^2,\qquad v\approx 3{,}4\ \text{м/с}.$$

2. Закон сохранения энергии при выстреле. Проходя по стволу путь $b$, шарик поднимается на высоту $b\sin\alpha$, поэтому

$$E=\frac{mv^{2}}{2}+mgb\sin\alpha=m\left(\frac{v^{2}}{2}+gb\sin\alpha\right).$$

3. Масса шарика. Отсюда

$$m=\frac{E}{\dfrac{v^{2}}{2}+gb\sin\alpha}=\frac{E}{\dfrac{gL}{2\sin 2\alpha}+gb\sin\alpha}.$$

Подстановка числовых значений:

$$m=\frac{0{,}25}{5{,}8+10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\frac{0{,}25}{5{,}8+2{,}5}\approx 0{,}03\ \text{кг}=30\ \text{г}.$$

Ответ: $m\approx 0{,}03\ \text{кг}=30\ \text{г}$.