Задание №23 — Уравнение теплового баланса

Решение:

Обозначения. $m$ — искомая первоначальная масса воды в калориметре; $t=20\ ^\circ\text{С}$ — её первоначальная температура; $\Delta m=140\ \text{г}=0{,}14\ \text{кг}$ — прирост массы воды; $c=4200\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$ — удельная теплоёмкость воды; $\lambda=3{,}3\cdot10^{5}\ \text{Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда.

Анализ процесса. Лёд тающий, то есть его температура равна температуре плавления $0\ ^\circ\text{С}$. Плавясь, лёд отбирает теплоту у воды, и вода остывает. Таяние прекращается тогда, когда вся система охлаждается до $0\ ^\circ\text{С}$: при этой температуре лёд и вода находятся в тепловом равновесии, теплообмена больше нет, и лёд перестаёт таять. Значит конечная температура смеси $t_{\text{к}}=0\ ^\circ\text{С}$.

Увеличение массы воды $\Delta m$ — это масса растаявшего льда: он превратился в воду при $0\ ^\circ\text{С}$, которую дополнительно нагревать не требуется, так как её температура уже равна конечной.

Уравнение теплового баланса. Тепловыми потерями пренебрегаем, поэтому теплота, отданная водой при охлаждении от $t$ до $0\ ^\circ\text{С}$, равна теплоте, затраченной на плавление массы $\Delta m$ льда:

$$c\,m\,(t-0)=\lambda\,\Delta m\quad\Rightarrow\quad m=\frac{\lambda\,\Delta m}{c\,t}.$$

Расчёт. $m=\dfrac{3{,}3\cdot10^{5}\cdot0{,}14}{4200\cdot20}=\dfrac{4{,}62\cdot10^{4}}{8{,}4\cdot10^{4}}=0{,}55\ \text{кг}=550\ \text{г}.$

Проверка. Вода массой $0{,}55\ \text{кг}$, остывая на $20\ ^\circ\text{С}$, отдаёт $4200\cdot0{,}55\cdot20=4{,}62\cdot10^{4}\ \text{Дж}$; ровно столько нужно для плавления $140\ \text{г}$ льда: $3{,}3\cdot10^{5}\cdot0{,}14=4{,}62\cdot10^{4}\ \text{Дж}$.

Ответ: $m=0{,}55\ \text{кг}=550\ \text{г}$.