Задание №23 — Уравнение теплового баланса

Решение:

Обозначения. $m_{\text{л}}=300\ \text{г}=0{,}3\ \text{кг}$ — масса льда, $t_{\text{л}}=0\ ^\circ\text{С}$ — его начальная температура; $m$ — искомая первоначальная масса воды; $t_1=55\ ^\circ\text{С}$ — начальная температура воды в калориметре; $t_2=5\ ^\circ\text{С}$ — конечная (равновесная) температура; $c=4200\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$ — удельная теплоёмкость воды; $\lambda=3{,}3\cdot10^{5}\ \text{Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда.

Анализ процесса. Конечная температура $t_2=5\ ^\circ\text{С}\gt0\ ^\circ\text{С}$, а лёд и вода могут сосуществовать только при $0\ ^\circ\text{С}$. Значит, льда в конце не осталось: он полностью расплавился, а образовавшаяся из него вода нагрелась от $0$ до $5\ ^\circ\text{С}$. Первоначальная вода при этом остыла от $55$ до $5\ ^\circ\text{С}$.

Уравнение теплового баланса. Теплоёмкость калориметра и теплообмен с окружающей средой не учитываем, поэтому вся теплота, отданная остывающей водой, идёт на плавление льда и на нагревание талой воды:

$$c\,m\,(t_1-t_2)=\lambda\,m_{\text{л}}+c\,m_{\text{л}}\,(t_2-t_{\text{л}}).$$

Отсюда

$$m=\frac{m_{\text{л}}\left(\lambda+c\,t_2\right)}{c\,(t_1-t_2)}.$$

Расчёт. Полученная льдом теплота: $0{,}3\cdot\left(3{,}3\cdot10^{5}+4200\cdot5\right)=0{,}3\cdot3{,}51\cdot10^{5}=1{,}053\cdot10^{5}\ \text{Дж}$. Знаменатель: $4200\cdot(55-5)=2{,}1\cdot10^{5}\ \text{Дж/кг}$. Тогда

$$m=\frac{1{,}053\cdot10^{5}}{2{,}1\cdot10^{5}}\approx0{,}50\ \text{кг}=500\ \text{г}.$$

Проверка. На плавление всего льда нужно $3{,}3\cdot10^{5}\cdot0{,}3=9{,}9\cdot10^{4}\ \text{Дж}$, а вода массой $0{,}5\ \text{кг}$, остывая на $50\ ^\circ\text{С}$, отдаёт $1{,}05\cdot10^{5}\ \text{Дж}$ — этого хватает, предположение о полном плавлении льда верно.

Ответ: $m\approx0{,}5\ \text{кг}=500\ \text{г}$.