Задание №23 — Уравнение теплового баланса

Решение:

Обозначения. $m_{\text{в}}=330\ \text{г}=0{,}33\ \text{кг}$ — первоначальная масса воды в калориметре; $t$ — её первоначальная температура (искомая величина); $\Delta m=63\ \text{г}=0{,}063\ \text{кг}$ — прирост массы воды; $c=4200\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$ — удельная теплоёмкость воды; $\lambda=3{,}3\cdot10^{5}\ \text{Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда.

Анализ процесса. В калориметр бросают тающий лёд, значит его температура равна температуре плавления $t_0=0\ ^\circ\text{С}$. Лёд плавится за счёт теплоты, отдаваемой водой, и вода при этом остывает. Таяние прекращается в тот момент, когда вся система приходит к температуре $0\ ^\circ\text{С}$: при этой температуре лёд и вода сосуществуют в тепловом равновесии, теплообмен прекращается, и оставшийся лёд больше не тает. Значит конечная температура смеси $t_{\text{к}}=0\ ^\circ\text{С}$.

Прирост массы воды $\Delta m$ — это масса растаявшего льда: расплавившись, он превратился в воду при $0\ ^\circ\text{С}$ и добавился к содержимому калориметра. Нагревать эту воду уже не нужно — её температура совпадает с конечной.

Уравнение теплового баланса. Система теплоизолирована (тепловыми потерями пренебрегаем), поэтому теплота, отданная водой при охлаждении от $t$ до $0\ ^\circ\text{С}$, равна теплоте, поглощённой при плавлении массы $\Delta m$ льда:

$$c\,m_{\text{в}}\,(t-0)=\lambda\,\Delta m.$$

Отсюда

$$t=\frac{\lambda\,\Delta m}{c\,m_{\text{в}}}.$$

Расчёт. $t=\dfrac{3{,}3\cdot10^{5}\cdot0{,}063}{4200\cdot0{,}33}=\dfrac{2{,}079\cdot10^{4}}{1386}=15\ ^\circ\text{С}.$

Проверка. Вода массой $0{,}33\ \text{кг}$, остывая на $15\ ^\circ\text{С}$, отдаёт $4200\cdot0{,}33\cdot15\approx2{,}08\cdot10^{4}\ \text{Дж}$; на плавление $63\ \text{г}$ льда требуется $3{,}3\cdot10^{5}\cdot0{,}063\approx2{,}08\cdot10^{4}\ \text{Дж}$ — баланс сходится.

Ответ: $t=15\ ^\circ\text{С}$.