Задание №23 — Линзы. Оптическая сила линзы. Формула тонкой линзы

Решение:

Обозначения. $d = 20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м}$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от изображения до линзы, $F$ — модуль фокусного расстояния рассеивающей линзы, $\Gamma = 1/5$ — линейное увеличение (изображение уменьшено в 5 раз).

Используемые законы. Рассеивающая линза при любом положении действительного предмета даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение, расположенное с той же стороны от линзы, что и предмет. Для мнимого изображения и рассеивающей линзы формула тонкой линзы принимает вид

$$\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = -\frac{1}{F}.$$

Линейное увеличение (из подобия треугольников, построенных на луче через оптический центр):

$$\Gamma = \frac{f}{d} \quad \Rightarrow \quad f = \Gamma\,d.$$

Преобразования. Подставим $f = \Gamma d$ в формулу линзы:

$$\frac{1}{d} - \frac{1}{\Gamma d} = -\frac{1}{F},\qquad \frac{\Gamma - 1}{\Gamma d} = -\frac{1}{F},\qquad F = \frac{\Gamma\,d}{1 - \Gamma}.$$

Расчёт. Изображение находится на расстоянии $f = \Gamma d = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{см}$ от линзы, тогда

$$F = \frac{\tfrac{1}{5} \cdot 20\ \text{см}}{1 - \tfrac{1}{5}} = \frac{4}{0{,}8} = 5\ \text{см}.$$

Проверка. Для рассеивающей линзы увеличение можно записать как $\Gamma = \dfrac{F}{d + F} = \dfrac{5}{20 + 5} = \dfrac{1}{5}$ — совпадает с условием. Оптическая сила линзы $D = -1/F = -20\ \text{дптр}$.

Ответ: $F = 5$ см $(0{,}05\ \text{м})$.